Ezio Maina

Metodi II AA 2012/2013: Programma Dettagliato

Data	Programma
26/09	Spazi topologici. Intorni, basi di intorni. Limite e continuità. Insiemi aperti e chiusi. Punti di aderenza ed accumulazione. Chiusura di un insieme. Spazi connessi. Spazi compatti. Insiemi densi. Spazi separabili.
01/10	Ricapitolazione del programma di Metodi I sulle funzioni di variabile complessa. La sfera di Riemann e il Piano Complesso Compattificato (PCC) con il punto all'infinito e i suoi intorni. Limiti e continuità nel punto all'infinito.
02/10	Le trasformazioni lineari fratte come automorfismi del PCC. Comportamento di una funzione nell'intorno dell'infinito. Sviluppo di Taylor e di Laurent nell'infinito. Teorema di Liouville. Funzioni intere con polo all'infinito. Funzioni meromorfe nel PPC. Il residuo nel punto all'infinito. Somma dei residui di una funzione che abbia solo singolarità isolate nel PCC. L'indicatore logaritmico. Il teorema fondamentale ell'algebra.
03/10	Esempi di calcolo di residui utilizzando il punto all'infinito. Le trasformazioni conformi dirette. Dilatazione, traslazione e inversione come generatori di tutte le trasformazioni lineari fratte. Tutte le trasformazioni conformi dirette sono lineari fratte. Relazione fra trasformazioni conformi e trasformazioni invertibili. Introduzione alla continuazione analitica.
08/10	Lemma su funzione regolare in un punto di accumulazione di zeri. Estensione a un dominio connesso. Principio di riflessione di Schwarz. Definizione di continuazione analitica. Unicità. Metodo di Weierstrass. Esempio di funzione non continuabile. La Gamma di Eulero (G): rappresentazione integrale e proprietà fondamentale. Continuazione analitica a tutto il PCC.
09/10	La funzione Beta di Eulero. Integrali calcolabili con la Beta. Relazione fra Beta e Gamma. G(z)*G(1-z). G(n+1/2). 1/G(z) è intera. Esercizi alla lavagna
10/10	Il mapping w=z^2. Univocità della radice quadrata sulla superficie immagine di z^2. Continuazione analitica alla Weierstrass della serie per z^{1/2}. Superficie di Riemann e fogli per la radice quadrata. Il mapping esponenziale. Univocità del logaritmo sulla superficie immagine di e^z. Continuazione analitica alla Weierstrass della serie per ln(1+z). Superficie di Riemann e fogli per il logaritmo.
15/10	Il logaritmo come soluzione dell'equazione z=exp(w). Fogli di Riemann e continuità del logaritmo attraverso i fogli. Funzioni polidrome ottenute da integrali. Il logaritmo a partire dall'esponenziale dell'integrale di 1/z. Definizione di punto di diramazione. Metodo pratico per identificare i punti di diramazione: f=ln((z-a)/z-b)); g=ln((z-a)(z-b)). Introduzione agli integrali di funzioni (reali) polidrome.
16/10	Studio dei fogli di Riemann per la funzione f=ln((z-a)/z-b)) con tagli diversi. Polidromie di tipo potenza. Calcolo di Int(0,1)dt t^{alpha-1}*(1-t)^{-alpha)=B(alpha,1-alpha). Metodi di calcolo di integrali di funzioni polidrome.
17/10	Calcolo di Int(0,1)dx R(x), R razionale. Calcolo di Int(0,1)dx R(x)*ln(x)^n. Esercizi alla lavagna.
22/10	"O grande", "o piccolo", successione e Sviluppi Asintotici (SA). SA della trasformata di Laplace. Serie divergenti. Comportamento del resto n-esimo. Unicita' dello SA di una funzione. SA di e^{-z) e ambiguità delle ricostruzione di una funzione a partire dallo SA.
23/10	SA di integrali reali. SA di integrali riconducibili alla Traformata di Laplace e ad integrali gaussiani. Il metodo del punto a sella. Assenza di minimi e massimi per la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica all'interno del dominio di analiticità. Determinazione del segno dello sviluppo.
24/10	Il metodo della fase stazionaria. Esercizi alla lavagna.
29/10	Riepilogo soluzione Equazioni Differenziali Ordinarie del secondo Ordine(ODE) nell'intorno di un punto al finito. Soluzioni di ODE nell'intorno del punto all'infinito: punti ordinari, singolari fuchsiani, singolari non-fuchsiani. Equazione di Papperitz-Riemann. Riduzione all'equazione ipergeometrica
30/10	Proprietà del simbolo P. Equazione e funzione ipergeometrica. Ricerca di una seconda soluzione linearmente indipendente. Relazioni fra funzioni ipergeometriche.
31/10	Esercizi alla lavagna.
05/11	Spazi unitari, normati, metrici. Completezza: spazi di Banach e di Hilbert. Operatori lineari. Continuità. Funzionali lineari. Operatori limitati e norma. Relazione fra continuità e limitatezza. Teorema di Fischer-Rietz. Norma di operatore continuo coincide con norma del vettore che lo realizza.
06/11	La lezione non si è tenuta per afonia del docente.
07/11	L'operazione di dualità. La notazione di Dirac. Bra, ket e rappresentazione degli operatori. Endo- e iso-morfismi. Operatori di proiezione e loro proprietà. Aggiunto di un operatore continuo. Aggiunto dell'aggiunto. Aggiunto di un prodotto di operatori.
12/11	Operatori hermitiani e unitari. Esempi di endomorfismi continui. Autovettori e autovalori. Autovalori di proiettori. Op. normali e loro prime proprietà. Proprietà di autovalori e autovettori di op. hermitiani e unitari. Isomorfismo fra C_N e H_N.
13/11	Cambiamenti di base ON. Invarianti. Isomorfismo fra l_2 e H. Gli autovettori di un operatore normale in C_N formano una base ON. Rappresentazione spettrale. Diagonalizzazione simultanea di due op. normali commutanti. Introduzione al concetto di dominio per un operatore in uno spazio ad infinite dimensioni.
14/11	Estensione per continuità di un operatore continuo con immagine in uno spazio di Banach. Aggiunto di un operatore non continuo. Il dominio dell'aggiunto. Op. autoaggiunti. Il ruolo degli operatori autoaggiunti in Meccanica Quantistica. L'op. posizione e l'op. derivata su R e su intervalli finiti. Funzioni assolutamente continue e condizioni al contorno omogenee.
19/11	Autovalori generalizzati determinati da una successione di vettori. Punti regolari di un operatore. Esistenza e limitatezza di (A-a1)^{-1}. Spettro di un operatore. Spettro dell'operatore posizione su [a,b], di L3, dell'operatore impulso. Lo spazio S delle funzioni di prova. Convergenza in S. Continuità di posizione e inpulso su S. Lo spazio S' delle distribuzioni temperate. Le funzioni a crescita algebrica limitata come esempio di distribuzioni. La Delta di Dirac come distribuzione singolare.
20/11	Limite in S'. La terna S,H,S'. Estensione di un op. autoaggiunto in H a tutto S'. Esempi: posizione e impulso. Equazione agli utovalori generalizzata. Teorema sulla completezza dello spettro degli op. autoaggiunti. Estensione ad H del teorema per operatori a spettro discreto. Estensione per op. a spettro continuo
21/11	Ripasso.

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	Last update: Nov 21, 2012