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La molla

La lunghezza naturale di una molla non sollecitata sia $ l_0$ (parte a della figura 2.1). Appendiamo un peso w che allungherà la molla di una lunghezza l ( parte b della figura 2.1

Figure 2.1: Schema della molla
\includegraphics[width=10cm]{molla.sp}

A causa dello sforzo dovuto al peso una forza di richiamo viene originata nella molla che cerca di tornare nella posizione di partenza. Tramite la legge di Hooke questa forza è proporzionale alla distanza l ( la lunghezza di cui si è allungata la molla):

$\displaystyle F=kl \quad,$ (2.1)

dove $ k>0$ è la costante della molla espressa in $ N\over m$ . Riportiamo nella tabella 2.1 alcuni parametri tipici delle molle presenti in laboratorio.

Table: Parametri della molla
\begin{table}
\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\v...
...noalign{\smallskip }
\hline
\hline
\end{array} \end{displaymath} \end{table}


La forza agente verso il basso è la forza peso della massa attaccata alla molla. Se la molla è sulla superficie della terra, allora F=mg. Poichè la molla è in equilibrio la forza diretta verso il basso eguaglia la forza verso l' alto :

$\displaystyle kl=mg \quad.$ (2.2)

Dalla formula precedente è già possibile dedurre un primo valore di $ k$

$\displaystyle k=\frac{mg}{l} \quad.$ (2.3)

Sia y=0 la posizione di equilibrio della molla con il peso w attaccato ad essa. Se la molla con questo peso attaccato è allungata di un ulteriore distanza y le seguenti forze agiranno sulla molla : L' equazione del moto diventa:

$\displaystyle m {{d^2 y }\over{dt^2}} =mg - k (l+y) = mg -kl -ky \quad.$ (2.4)

Grazie alla situazione di equilibrio precedente l'equazione si semplifica ulteriormente :

$\displaystyle m {{d^2 y }\over{dt^2}} = -ky \quad.$ (2.5)

Questa è l'equazione dell'oscillatore la cui soluzione è

$\displaystyle y = A cos ( \omega t + \omega_1 ) \quad,$ (2.6)

dove $ \omega=\sqrt { k \over m}$  . Il periodo di tale moto oscillatorio vale:

$\displaystyle T ={{2 \pi} \over \omega} = 2 \pi \sqrt{{ m \over{k}}} \quad .$ (2.7)

La relazione che connette la costante $ k$ con il periodo $ T$ vale

$\displaystyle k = 4 \pi^2 \frac{m}{T^2} \quad ,$ (2.8)

e questa è pure la seconda definizione di $ k$ .

Dalle equazioni (2.3) e (2.8) è possibile ricavare il valore della costante $ g$ che rappresenta la gravità a Torino quando le masse sono uguali

$\displaystyle g = \frac {l 4 \pi^2 } {T^2} \quad .$ (2.9)

L'attrezzatura di laboratorio è riportata nella Figura 2.2.

Figure 2.2: L'esperimento della molla
\includegraphics[width=10cm]{foto_molla.sp}



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Lorenzo Zaninetti 2014-03-27