Modulo di Introduzione alla Teoria dei Gruppi

Presentazione

Il corso consiste in un modulo di ca. 44 h, del valore di 6 crediti, e si tiene nel primo quadrimestre. Il corso è caratterizzante per i percorsi di Fisica teorica delle alte energie e Relatività generale e geometria differenziale dell' indirizzo teorico della Laurea specialistica in Interazioni Fondamentali. E' però ovviamente aperto (e, sperabilmente, utile) agli studenti che seguano altri percorsi dell'indirizzo teorico o dell'indirizzo sperimentale.

Si darà un'introduzione alla Teoria dei Gruppi (sia gruppi discreti che gruppi di Lie) e delle loro rappresentazioni. L'accento saraà tendenzialmente posto più sui contenuti rilevanti per le applicazioni fisiche che non sul rigore matematico.

Docente

Dott. Marco Billò (Dip. Fisica Teorica)
Tel: 0116707213
Fax: 0116707214
email: billo@to.infn.it
web-site: www.to.infn.it/~billo.

Orario ed aule delle lezioni

Le lezioni si svolgeranno in Aula Wick (primo piano Istituto Nuovo), a partire da Lunedì 29 Settembre 2003 nel seguente orario:

Lunedì (11-13), Mercoledì (14-16), Venerdì (11-13)

Programma del corso

Tra gli argomenti svoltyi a lezione, qui di sotto riportati:

1. {per quelli scritti nel presente colore, racchiusi tra parentesi graffe verrà richiesta all'esame solo la conoscenza dei concetti e definizioni principali, ma non, ad esempio, dei dettagli e delle derivazioni;}
2. [quelli scritti nel presente colore, racchusi tra parentesi quadre, non verranno richiesti all'esame.]

• Concetti e risultati generali per i gruppi (in particolare, per i gruppi finiti).
  • Definizioni e concetti principali.
    Gruppo, gruppo abeliano, commutatore, elementi coniugati, ordine e dimensione. Gruppi topologici, gruppi di Lie, Tavola di moltiplicazione. Omomorfimi, isomorfismi e automorfismi.
    (29/09/03)
    Rango, generatori e relazioni. Sottogruppi.
  • Esempi importanti.
    Gruppi di trasformazioni. Il gruppo delle permutazioni. Trasformazioni lineari e gruppi di matrici. Gruppi di invarianza. Gruppi (pseudo-)unitari ...
    (01/10/03)
    ... e (pseudo-)ortogonali. [Gruppo simplettico.] Gruppi di invarianze geometriche. Es: gruppi Euclidei, [gruppi diedrali] Operazioni di simmetria in Meccanica Quantistica, gruppi di invarianza di operatori.
    (06/10/03)
    {Il gruppo di omotopia di una varietà.}
  • Principali proprietà strutturali dei gruppi (con esempi).
    Teoremi di Cayley e Lagrange. Cosets e classi di coniugazione.
    (08/10/03)
    [Classi di coniugazione del gruppi simmetrico.] Sottogruppi coniugati. Sottogruppi invarianti. Centro di un gruppo. Gruppi semplici, semisemplici, solubili.
    (10/10/03)
    Teorema dell'omomorfismo. Prodotti diretti e semidiretti, esempi (Lorentz -> Poincaré).
• Gruppi ed algebre di Lie.
  • Introduzione e definizione
    Esempio introduttivo: il gruppo delle rotazioni proprie in 2 dimensioni, SO(2). Definizione. Gruppi di Lie di trasformazioni. Gruppi di Lie come gruppi di trasformazioni.
    (13/10/03)
  • Proprietà locali
    Generatori infinitesimi. 1o e 2o teorema di Lie. Campi vettoriali invarianti, loro relazione con lo spazio tangente all'identità, coi generatori infinitesimi...
    (15/10/03)
    ... e coi teoremi di Lie. {Curve integrali dei campi vettoriali invarianti e sottogruppi ad un parametro.} Parametrizzazione esponenziale del gruppo. Prodotto gruppale dai commutatori dei generatori infinitesimi. Alcune proprietà di operatori e matrici: la funzione esponenziale, relazioni di Baker-Campbell-Hausdorff, relazioni tra determinante e traccia.
  • Definizioni principali riguardanti le algebre di Lie
    Algebre di Lie: definizione, generatori, costanti di struttura.
    (17/10/03)
    Esempi (prodotto esterno,so(3),su(2)). Omomorfismi, rappresentazioni, isomorfismi di algebre di Lie. Rappresentazione aggiunta.
  • Relazione tra gruppi ed algebre di Lie
    L'algebra di Lie G_L, G_R dei campi vettoriali invarianti a destra e sinistra e generatori infinitesimi. Isomorfismo tra G_L e G_R. Il caso dei gruppi di Lie di matrici. Dall'algebra al gruppo. Algebre di Lie come presentazioni del gruppo di Lie.
    (20/10/03)
    Gruppi classici e loro algebre di Lie: GL(n,R) e gl(n,R), SL(n,R) e sl(n,R), SO(n) e so(n), SU(n) e su(n), gruppi pseudo-ortogonali. La parametrizzazione epsonenziale di SU(2) e SO(3) come esponenziali di su(2) e so(3)...
    (22/10/03)
    [... e interpretazione geometrica di quest'ultima.]
  • Proprietà globali dei gruppi di Lie
    {Proprietà topologiche: componenti connesse e disconnesse. Isomorfismi locali tra gruppi di Lie, gruppi semplicemente connessi e loro ricoprimento universale (3o toerema di Lie).} Relazione tra SU(2) e SO(3).
    (27/10/03)
  • Struttura delle algebre di Lie (complesse).
    Introduzione al programma di classificazione delle algebre di Lie. Algebre complessificate e sezioni reali; sl(2,R) e su(2). Concetti di sottoalgebra, ideale, centro, algebra derivata e relazione con analoghi a livello del gruppo. 1o teorema dell'omomorfismo. Azione aggiunta del gruppo sull'algebra. Mappa e rappresentazione aggiunta. Somme diretta e semidiretta di algebre di Lie.
    (29/10/03)
    Esempio: so(4)~su(2)+su(2), confronto con so(1,3). {Algebre semplici, semisemplici, nilpotenti, solubili. Teorema di Levi (enunciato).} Forma...
    (31/10/03)
    ... e metrica di Killing. {Criteri di Cartan per solubitità e semisemplicità (enunciati ed esempi)}. Operatore di Casimir del 2o ordine.
  • Forma canonica delle algebre di Lie semisemplici, formalismo di Cartan e classificazione delle algebre semplici (complesse).
    Sottoalgebra di Cartan. Rango. Il concetto di radice. {Il sistema delle radici e le sue proprietà.}
    (03/11/03)
    {Possibili angoli tra le radici e invarianza per riflessioni. Sistemi di radici di rango 1 e 2.
    (05/11/03)
    Sistemi indecomponibili e algebre semplici. Sistemi di radici semplici. Matrice di Cartan. {Gruppo di Weyl. Diagrammi di Dynkin.} Classificazione delle algebre di Lie semplici: simply-laced e non, classiche ed eccezionali (risultato). [Descrizione esplicita dei sistemi di radici di alcune algebre classiche: Ar,]
    (07/11/03)
    [...Dr.]
• Rappresentazioni di gruppi e di algebre di Lie
  • Rappresentazioni di gruppi: concetti generali e principali risultati per gruppi discreti
    Rappresentazioni, rappres. fedeli. Esempi. Rappresentazioni equivalenti. Definizione dei caratteri di una rappresentatione. Sottospazi invarianti. Rappresentazioni irriducibili, riducibili, completamente riducibili. Somma diretta di rappresentazioni. Esempi.
    (10/11/03)
    Rappresentazioni unitarie. Esempi. {Costruzione di rappresentazioni per gruppi di trasformazioni.} Rappr. del gruppo di simmetria e livelli di energia in M.Q. Lemmi di Schur e criteri di irriducibilità. Relazioni di ortogonalità.
    (12/11/03)
    Caratteri e decomposizione di rappresentazioni. Criteri di irriducibilità. {La rappresentazione regolare. Relazioni di completezza. Il caso dei gruppi Abeliani. La tabella dei caratteri e sue proprietà. Esempio: S_3.} Prodotti tensoriali di rappresentazioni e loro decomposizione: serie e coefficienti di Clebsh-Gordan.
    (14/11/03)
    [Irreducible tensor operators, teorema di Wigner-Eckhart.] {Rappresentazioni irriducibili di S_n e GL(m): tableaux di Young e classi di simmetria dei tensori (cenni).}
    (17/11/03)
  • Rappresentazioni di gruppi ed algebre di Lie
    Introduzione: l'esempio di SO(2). Discussione della relazione tra rappresentazioni di algebre e gruppi di Lie. {Sezioni reali di algebre complesse: forma compatta e Weyl unitarity trick (cenni). Rappresentazioni a molti valori per gruppi di Lie non semplicemente compatti. Lemma di Schur per rappresntazionmi di algebre di Lie.} Rappresentazioni coniugate, rappresentazioni self-coniugate. Rappresentazioni di algebre di Lie semplici complessificate in forma di Cartan. Espressione utile dell'operatore di Casimir. Esempio: rappresetazioni finito-dimensionali D_j dell'algebra A_1 (forma compatta: su(2)).
    (19/11/03)
    {Rappresentazioni D_j a spin j semintero come rappres. a due valori di SO(3) = SU(2)/Z_2 (spinori).} Rappresentazioni di SU(2) nel formalismo tensoriale: rappresentazioni fondamentali e antifondamentale e loro equivalenza.} Decomposizione dei prodotti diretti in tensori completamente simmetrici. Vettori peso e loro principali proprietà. Pesi fondamentali, reticolo dei pesi e delle radici. Rappresentazioni irriducibili e highest weigths; Dynkin labels. Pesi di rappresentazioni coniugate. Azione degli step operators.
    (20/11/03)
    Costruzione di rappresentazioni a partire dall'h.w. Esempi in A_1 ( ~ su(2)) e [A_2 (~ su(3)).] {Formalismo tensoriale per SU(3).} Prodotti tensoriali di rappresentazioni. Loro decomposizione in rappresentazioni irriducibili col formalismo dei pesi. Esempi in su(2) [e su(3).]
    (24/11/03)
    [pLa misura di Haar; esempio: SU(2). Proprieta' di ortogonalità. Classi di coniugazione e toro massimale. Caratteri di gruppi di Lie.] {Rappresentazioni di SO(4) ...}
    (26/11/03)
    {... e SO(1,3). Rappresentazioni dei gruppi euclidei e del gruppo di Poincare'.
    (27/11/03)

Materiale bibliografico, testi consigliati

Testi di riferimento

I testi qui elencati dovrebbero essere tutti disponibili in biblioteca. Va da sé che il contenuto del corso è un sottoinsieme molto piccolo del contenuto della seguente bibliografia.
Nell'elenco, i riferimenti principale hanno il nome dell'autore in rosso.

• Sruttura e proprietà generali dei gruppi, in particolari finiti, e delle loro rappresentazioni:
  • M. Hamermesh, Group Theory, Addison-Wesley, 1962, cap. 1,3,5
  • J. F. Cornwell, Group theory in Physics, Academic Press, 1984, Vol. 1, cap. 1-5
  • Collana Schaum, Group Theory, primi capitoli.
• Gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni:
  • R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications, John Wiley and sons, New York 1974.
    Classica referenza, completa and chiara.
  • J. F. Cornwell, Group theory in Physics, Academic Press, 1984, parti dei voll. 1 e 2.
    Abbastanza completo.
  • B. G. Wybourne, Classical Groups for physicists, John Wiley and sons, New York 1973. Cap. 3-7, 9-12, 14-16.
    Abbastanza semplice, ma anche abbastanza completo.
  • H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings ,Reading, Mass., 1982
    Focalizzato sulle applicazioni alla Fisica delle particelle.
  • Wu-Ki Tung, Group theory in Physics, World Scientific, Singapore, 1985.
    Impostazione molto ``fisica'', descrive in dettaglio anche gruppi di Lorenz e Poincaré. Un po' scarne le parti più generali.
  • Humphreys, Lie Algebras.
    Classica referenza sulla struttura canonica delle algebre, sugl spazi delle radici, i diagrammi di Dynkin, etc.
  • Jacobson, Lie Algebras.
    Per chi ha gusti più matematici.

Dispense, appunti

• Parti degli appunti del docente relativi al corso sono già scritti (in inglese) in TeX, ed e quindi disponibili per il download come files .ps o .pdf. Il lavoro di scrittura è in corso, e anche le parti già scritte sono lontane da una forma definitiva. I files verranno via via aggiornati.
  • Groups: general structure and properties, file .pdf (510 kB)
    Ultima versione: 16/09/2003
    La prima parte del corso (abbastanza completa).
  • Lie Groups and Lie algebras, file .pdf (429 kB).
    Ultima versione: 16/09/2003
    Gruppi e algebre di Lie, e loro relazione (abbastanza completo).
  • Structure of Lie algebras, file .pdf (252 kB).
    Ultima versione: 09/12/2002
    Struttura delle algebre di Lie e formalismo di Cartan. Ancora molto incompleto.
  • Basics of group representations, file .pdf (368 kB)
    Ultima versione: 16/09/2003
    ancora molto parziale.
  • Representations of Lie algebras, file .ps (338 kB) or file .pdf (127 kB).
    Ultima versione: 09/12/2002
    Rappresentazioni di algebre di Lie. Iniziato da poco.
  • Some technical points, file .ps (289 kB) or file .pdf (101 kB).
    Ultima versione: 09/12/2002
    Alcune dimostrazioni e altri punti tecnici riguardanti soprattutto i capitoli sulle algebre di Lie. Ancora abbozzato.
  • Some mathematical tools, file .ps (3596 kB! be careful!) or file .pdf (372 kB).
    Ultima versione: 09/12/2002
    Appendice matematica (ancora incompleta).
• Gli appunti non ancora trascritti in TeX sono disponibili in forma manoscritta presso il docente.

Altro materiale in rete

• U. Magnea, An introduction to symmetric spaces, arXiv:cond-mat/0205288.
  Contiene una sintesi di concetti relativi a gruppi ed algebre di Lie e una chiara esposizione degli spazi simmetrici (coset spaces). Questi ultimi non sono in programma, ma sono assai importanti in molte applicazioni. Questo lavoro, ad esempio, è stato scritto per i fisici dello stato condensato...

Modalità e calendario degli esami

Le modalità precise dell'esame verranno stabilite presto (anche a seguito di discussione con gli studenti del corso). Presumibilmente, si tratterà di un esame orale tradizionale, con la possibilità aggiuntiva di preparare alcuni argomenti particolari.