Logartimi e potenze in campo complesso

In questa unità vengono definite le funzioni logaritmo e potenza nel Campo Complesso. La definizione del logaritmo

$${\rm ln} z = {\rm ln} \vert z\vert + {\rm i} {\rm arg} z$$

è ambigua, poichè l'argomento di z è definito a meno di multipli di $2\pi$. L'ambiguità è rimossa solo specificando in quale intervallo varia l'argomento di z. La funzione ln z è quindi discontinua su una semiretta uscente dall'origine del piano complesso, che è perciò una singolarità non isolata, precisamente un punto di diramazione. A partire dal logaritmo è possibile definire le potenze:

$$z^{\alpha} = \vert z\vert^{\alpha} {\rm e}^{{\rm i} \alpha {\rm arg}z} .$$

Per generici esponenti complessi anche le potenze sono definite in modo univoco solo quando viene fissato l'intervallo in cui varia l'argomento di z ed hanno quindi un punto di diramazione nell'origine. Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di:

• Calcolare i valori del logaritmo di un numero complesso.
• Calcolare i valori delle potenze (con esponenti complessi) di un numero complesso.

Alcuni link utili per l'approfondimento di questo argomento sono:

• Analysis Web Notes
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• Logarithms and Complex Powers
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• Logarithms
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• Multi-valued Complex Maps
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