Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui

In questa unità si illustra come il Teorema dei Residui permetta di calcolare, dopo opportune manipolazioni, ampie classi di Integrali Definiti sull'asse reale. Viene trattato (paragrafo 1.6.1) il caso di integrali di funzioni trigonometriche su intervalli dell'asse reale corrispondenti ad un periodo, che, mediante la trasformazione di coordinate ${\rm e}^{{\rm i}\theta} = z$, vengono trasformati in integrali sul cerchio di raggio unitario centrato nell'origine nel piano complesso. Successivamente(paragrafo 1.6.3) viene dimostrato il Lemma di Jordan, grazie al quale possono essere calcolati, mediante un'opportuna estensione al campo complesso, integrali sull'asse reale di funzioni del tipo ${\rm e}^{{\rm i}\alpha z} f(z)$ (con $f(z)=o(1)$). Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di calcolare mediante estensione al campo complesso integrali del tipo:

• 
  

  $$\int_{0}^{2\pi} f({\rm sin}\theta,{\rm cos}\theta) d\theta$$

  
  
  Esercizi sul calcolo degli integrali in campo complesso: Integrali Trigonometrici
• 
  

  $$\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{{\rm i}\alpha z} f(z) dz$$

  
  
  Esercizi sul calcolo degli integrali in campo complesso: Integrali da risolvere con il Lemma di Jordan

Alcuni link utili per l'approfondimento di questo argomento sono:

• Jordan'a Lemma-from MathWorld
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