Modulo di Introduzione alla Teoria dei Gruppi

Presentazione

Il corso consiste in un modulo di ca. 44 h, del valore di 6 crediti, e si tiene nel primo quadrimestre. Il corso è caratterizzante per i percorsi di Fisica teorica delle alte energie e Relatività generale e geometria differenziale dell' indirizzo teorico della Laurea specialistica in Interazioni Fondamentali. E' però ovviamente aperto (e, sperabilmente, utile) agli studenti che seguano altri percorsi dell'indirizzo teorico o dell'indirizzo sperimentale.

Si darà un'introduzione alla Teoria dei Gruppi (sia gruppi discreti che gruppi di Lie) e delle loro rappresentazioni. L'accento saraà tendenzialmente posto più sui contenuti rilevanti per le applicazioni fisiche che non sul rigore matematico.

Docente

Dott. Marco Billò (Dip. Fisica Teorica)
Tel: 0116707213
Fax: 0116707214
email: billo@to.infn.it
web-site: www.to.infn.it/~billo.

Orario ed aule delle lezioni

Le lezioni si svolgeranno in Aula Wick (primo piano Istituto Nuovo), a partire da Lunedì 26 Settembre 2005 nel seguente orario (N.B. Potrebbe rendersi necessario qualche cambiamento, che sarà tempestivamente comunicato):

Lunedì (11-13), Mercoledì (14-16), Venerdì (11-13)

Programma del corso

Qui viene riportata la descrizione schematica dei contenuti del corso.

• Per una descrizione dettagliata dei contenuti, potete consultare la pagina del corso dell'a.a. 2003/2004, in cui viene riportato il programma effettivamente svolto nelle varie lezioni. Pur con qualche cambiamento, il grosso degli argomenti resterà invariato. E' anche a disposizione il registro delle lezioni dell'a.a. 2004/2005, in formato .pdf.
• Non tutti gli argomenti svolti a lezione verranno richiesti in dettaglio all'esame. In particolare,
  • sono esclusi: i gruppi e le algebre simplettiche, le classi di coniugazione del gruppo simmetrico, l'espressione esplicita delle curve integrali dei campi vettoriali invarianti la descrizione esplicita dei sistemi di radici An, la costruzione col formalismo dei pesi delle rappresentazioni di A_2, le rappresentazioni di SO(2n) e quelle di Poicarè discusse nell'ultima lezione
  • vengono richiesti solo i concetti principali (e non le dimostrazioni dettagliate) riguardo: la classificazione delle algebre di Lie (semplici, semi-semplici, solubili), il formalismo di Cartan ``delle radici'', le proprietà della tabella dei caratteri.

Qui viene riportata la descrizione schematica degli argomenti svolti a lezione in qs anno accademico

• Concetti e risultati generali per i gruppi (in particolare, per i gruppi finiti).
  • Definizioni e concetti principali.
  • Esempi importanti.
  • Principali proprietà strutturali dei gruppi (con esempi).
• Gruppi ed algebre di Lie.
  • Introduzione e definizione
  • Proprietà locali
  • Definizioni principali riguardanti le algebre di Lie
  • Relazione tra gruppi ed algebre di Lie
  • Proprietà globali dei gruppi di Lie
  • Struttura delle algebre di Lie (complesse).
  • Forma canonica delle algebre di Lie semisemplici, formalismo di Cartan e classificazione delle algebre semplici (complesse).
• Rappresentazioni di gruppi e di algebre di Lie
  • Rappresentazioni di gruppi: concetti generali e principali risultati per gruppi discreti
  • Rappresentazioni di gruppi ed algebre di Lie

Materiale bibliografico, testi consigliati

Testi di riferimento

I testi qui elencati dovrebbero essere tutti disponibili in biblioteca. Va da sé che il contenuto del corso è un sottoinsieme molto piccolo del contenuto della seguente bibliografia.
Nell'elenco, i riferimenti principale hanno il nome dell'autore in rosso.

• Sruttura e proprietà generali dei gruppi, in particolari finiti, e delle loro rappresentazioni:
  • M. Hamermesh, Group Theory, Addison-Wesley, 1962, cap. 1,3,5
  • J. F. Cornwell, Group theory in Physics, Academic Press, 1984, Vol. 1, cap. 1-5
  • Collana Schaum, Group Theory, primi capitoli.
• Gruppi e algebre di Lie e loro rappresentazioni:
  • R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications, John Wiley and sons, New York 1974.
    Classica referenza, completa and chiara.
  • J. F. Cornwell, Group theory in Physics, Academic Press, 1984, parti dei voll. 1 e 2.
    Abbastanza completo.
  • B. G. Wybourne, Classical Groups for physicists, John Wiley and sons, New York 1973. Cap. 3-7, 9-12, 14-16.
    Abbastanza semplice, ma anche abbastanza completo.
  • H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin/Cummings ,Reading, Mass., 1982
    Focalizzato sulle applicazioni alla Fisica delle particelle.
  • Wu-Ki Tung, Group theory in Physics, World Scientific, Singapore, 1985.
    Impostazione molto ``fisica'', descrive in dettaglio anche gruppi di Lorenz e Poincaré. Un po' scarne le parti più generali.
  • Humphreys, Lie Algebras.
    Classica referenza sulla struttura canonica delle algebre, sugl spazi delle radici, i diagrammi di Dynkin, etc.
  • Jacobson, Lie Algebras.
    Per chi ha gusti più matematici.

Dispense, appunti

• Parti degli appunti del docente relativi al corso sono già scritti (in inglese) in TeX, ed e quindi disponibili per il download come files .ps o .pdf. Il lavoro di scrittura è in corso, e anche le parti già scritte sono lontane da una forma definitiva. I files verranno via via aggiornati.
  • Groups: general structure and properties, file .pdf (451 kB)
    Ultima versione: 03/10/2003
    La prima parte del corso (abbastanza completa).
  • Lie Groups and Lie algebras, file .pdf (373 kB).
    Ultima versione: 20/10/2003
    Gruppi e algebre di Lie, e loro relazione (abbastanza completo).
  • Structure of Lie algebras, file .pdf (201 kB).
    Ultima versione: 30/07/2003
    Struttura delle algebre di Lie e formalismo di Cartan. Ancora molto incompleto.
  • Basics of group representations, file .pdf (394 kB)
    Ultima versione: 03/10/2003
    ancora molto parziale.
  • Representations of Lie algebras, file .pdf (125 kB).
    Ultima versione: 30/07/2003
    Rappresentazioni di algebre di Lie. ancora molto parziale.
  • Some technical points, file .pdf (101 kB).
    Ultima versione: 30/07/2003
    Alcune dimostrazioni e altri punti tecnici riguardanti soprattutto i capitoli sulle algebre di Lie. Ancora abbozzato.
  • Some mathematical tools, file .pdf (325 kB).
    Ultima versione: 30/07/2003
    Appendice matematica (ancora incompleta).
• Gli appunti non ancora trascritti in TeX sono disponibili in forma manoscritta presso il docente.
• Sono inoltre disponibili alcuni parti (anch'esse molto preliminari) di un futuro libro in via di scrittura insieme al Prof. Pietro Fré . In particolare,
  • Concepts in differential geometry, file .pdf (1058 kB).
    Il materiale di questo file NON fa parte del programma del salvo per le definizioni più semplici di geometria differenziale su varietà (campi vettoriali, etc...). Può comunque servire di riferimento per eventuali dubbi e curiosità.
  • Canonical structure of Lie algebras, file .pdf (143 kB).
    Questo materiale verrà trattato nel corso il modo molto più semplificato e accorciato. Di nuovo, può servire comunque come riferimento.
  • Root systems and theire classification, file .pdf (220 kB).
    Avvertimenti come per la parte precedente.

Altro materiale in rete

• U. Magnea, An introduction to symmetric spaces, arXiv:cond-mat/0205288.
  Contiene una sintesi di concetti relativi a gruppi ed algebre di Lie e una chiara esposizione degli spazi simmetrici (coset spaces). Questi ultimi non sono in programma, ma sono assai importanti in molte applicazioni. Questo lavoro, ad esempio, è stato scritto per i fisici dello stato condensato...

Modalità e calendario degli esami

Si tratterà di un esame orale tradizionale, con la possibilità aggiuntiva di preparare alcuni argomenti particolari.