Integrazione in campo complesso

In questa unità vengono definiti gli Integrali in campo complesso e se ne dimostrano le principali proprietà. Inizialmente (paragrafo 1.3.1) vengono brevemente richiamate alcune nozioni sulle Curve nel piano complesso (l'argomento è stato trattato nel corso di ???. Viene quindi (paragrafo 1.3.2) definito l'integrale lungo una curva $\gamma$ nel piano complesso (di equazione z = z(t), con z(a) = A e z(b) = B) di una funzione complessa di variabile complessa f(z):

$$\int_{A(\gamma)}^B f(z) dz = \int_a^b f\left(z(t)\right) \frac{dz}{dt} dt$$

e dimostrato che esso soddisfa la Disuguaglianza di Darboux, ovvero che è maggiorato in modulo dal prodotto della lunghezza della curva per il massimo del valore che il modulo della funzione assume lungo la curva. Successivamente viene dimostrato il fondamentale Teorema di Cauchy (paragrafo 1.3.3): l'integrale di una funzione analitica lungo una curva chiusa $\gamma$, tutta contenuta in un dominio semplicemente connesso di analiticità per la funzione, è nullo:

$$\oint_\gamma f(z) dz = 0 .$$

Due importanti conseguenze del Teorema di Cauchy sono il Corollario al Teorema di Cauchy che afferma che l'integrale di una funzione analitica tra i punti A e B non dipende dal particolare cammino di integrazione fintanto che i vari cammini sono deformabili uno nell'altro senza incontrare singolarità, ed il Teorema di Cauchy generalizzato che assicura che gli integrali di una funzione analitica f(z) lungo due diverse curve chiuse $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono uguali se le due curve sono omotopicamente equivalenti nel dominio di analiticità della funzione. Infine viene dimostrata la validità della rappresentazione integrale di Cauchy per una funzione analitica: data una funzione f(z), analitica in un dominio semplicemente connesso, ed una curva $\gamma$ tutta contenuta in questo dominio, è possibile conoscere il valore della funzione in tutti i punti interni alla curva una volta noti i valori che essa assume su tutti i punti della curva:

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z')}{z'-z} dz'   .$$

Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di:

• Valutare se l'integrale lungo una data curva chiusa di una funzione analitica è banalmente nullo Esercizi su..........
• Determinare se diversi integrali di cammino di una stessa funzione analitica sono uguali o meno Esercizi su..........

Alcuni link utili per l'approfondimento di questo argomento sono:

• Cauchy Integral Formula-from MathWorld
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• Cauchy Integral Theorem-from MathWorld
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• Cauchy integral theorem-Wikipedia
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