Funzioni complesse di variabile complessa

In questa unità si introducono le Funzioni complesse di variabile complessa, che sono l'argomento fondamentale della prima parte del corso. Inizialmente (paragrafo 1.2) viene definita una funzione complessa di variabile complessa; dette x e y rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria della variabile complessa z, una funzione complessa di variabile complessa f(z) si può scrivere come

$$f(z) = u(x,y) + {\rm i}v(x,y)$$

e le due funzioni reali in ${\bf R_2 }$ u(x,y) e v(x,y) sono dette rispettivamente Parte Reale e Parte Immaginaria di f(z). Viene quindi definito il concetto di Funzione Derivabile (paragrafo 1.2.1)e dimostrato che le Condizioni di Cauchy-Riemann (paragrafo 1.2.2)

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x,y)}{\partial y}$$

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = -\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}$$

sono condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione sia derivabile. Una funzione derivabile (ovvero che soddisfi le condizioni di Cauchy-Riemann) in una regione aperta del piano complesso C è detta Funzione Analitica. Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di:

• Determinare parte reale e parte immaginaria di una funzione complessa Esercizi su funzioni di variabile complessa
• Verificare se una funzione complessa è una funzione analitica Esercizi sulle condizioni di Cauchy-Riemann

Alcuni link utili per l'approfondimento di questo argomento sono:

• Cauchy-Riemann Equations-from MathWorld
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• Cauchy-Riemann equations-Wikipedia
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• Cauchy-Riemann equations
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• PlanetMath:proof of the Cauchy-Riemann equations
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