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Serie in campo complesso

In questa unità si tratta l'argomento delle Serie di potenze in campo complesso che sono lo strumento fondamentale per l'analisi delle proprietà delle funzioni analitiche. Inizialmente (paragrafo 1.4.1) vengono brevemente richiamate le proprietà ed i criteri di convergenza delle serie di potenze in campo complesso, che sono l'ovvia estensione di quelli validi per le serie di potenze in campo reale (l'argomento è stato trattato nel corso di ???; esercizi su questo argomento sono contenuti in Esercizi sulle Serie in Campo Complesso. Viene quindi illustrato (paragrafo 1.4.2) uno dei risultati fondamentali di questo capitolo, ovvero che una funzione f(z) analitica in un punto $z_0$ ammette sempre uno sviluppo in Serie di Taylor in un intorno di $z_0$:
$\displaystyle f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k .$      

Tramite lo sviluppo in Serie di Taylor si può facilmente definire quando il punto $z_0$ è uno zero di ordine n per la funzione f(z) (paragrafo 1.4.3). Successivamente viene definito il concetto di singolarità isolata in un punto $z_0$ e si mostra come nell'intorno di una singolarità isolata una funzione ammetta sempre uno sviluppo in Serie di Laurent, ovvero uno sviluppo in serie di potenze di $(z-z_0)$ che comprende anche potenze negative (paragrafo 1.4.4):
$\displaystyle f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-z_0)^k .$      

Lo sviluppo in Serie di Laurent viene poi usato (paragrafo 1.4.5) per definire i due possibili tipi di singolarità isolate: Poli di ordine n e Singolarità essenziali. Al termine dello studio di questo capitolo sarai dunque in grado di: Alcuni link utili per l'approfondimento sulle serie di potenze, ed in particolare sulle serie di Taylor nel campo reale sono: Link invece utili per l'approfondimento delle serie di potenze nel campo complesso e delle serie di Laurent sono:
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Marialuisa Frau 2003-05-30